The paper generalizes the construction by stochastic flows of consistent utilities processes introduced by M. Mrad and N. El Karoui in [17]. The market is incomplete and securities are modeled as locally bounded positive semimartingales. Making minimal assumptions and convex constraints on test-portfolios, we construct by composing two stochastic flows of homeomorphisms, all the consistent stochastic utilities whose the optimal wealth process is a given admissible portfolio, strictly increasing in initial capital. Proofs are essentially based on change of variables techniques.

https://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/47/73/80/PDF/ArticleAbstraitNEK.pdf

Stochastic Utilities With a Given Optimal Portfolio : Approach by Stochastic Flows

En 2002, Marek Musiela et Thaleia Zariphopoulo ont introduit la notion de {\em forward utility}, c'est a dire une utilite dynamique, progressive, coherente avec un marche financier donne. On peut voir ce processus comme un champ aleatoire $U(t,x)$ adapte a l'information disponible, qui a chaque instant est une utilite standard (donc en particulier a la date $0$, compatible avec une famille de strategies donnees $(X^{\pi})$ au sens ou pour tout $t,h>0$, $ \mathbb{E}(U(t+h,X^{\pi}_{t+h})|\mathcal{F}_t)\leq U(t,X^{\pi}_t)$ et il existe un portefeuille optimal $X^*$ pour lequel l'inegalite est une egalite.\\ Les auteurs ont fait plusieurs articles sur ce sujet, montrant en particulier comment les utilites classiques, puissance, exponentielle, etc doivent etre modifiees pour etre des utilites dynamique progressives. Une attention limitee a ete portee a l'univers d'investissement. \noindent Dans mon travail de these, je considere un cadre beaucoup plus general. En effet, le marche est incomplet dans le sens ou un investisseur est contraint, a chaque date $t\ge 0$, de choisir ces strategies admissibles dans des cones convexes fermes, adaptes $\K_t (X_t)$ dependent du niveau de sa richesse $X_t$. Je considere par la suite que les champs aleatoires $U(t,x)$ evoluent selon la dynamique \begin{equation}\label{eq:champ} dU(t,x)=\beta(t,x)+\Gamma(t,x) dW_t,~U(0,.)=u(.) (\text{donnee}) \end{equation} Comme dans l'optimisation classique, (dite retrograde puisqu'on reconstruit l'information a partir de la fin), %je montre que le terme %$\beta(t,x)$ contient, contient necessairement, un terme de type hamiltonien classique %modifie par la presence de la derivee de la volatilite %$\Gamma(t,x)$ de l'utilite progressive. Et par consequent toute utilite progressive qui % satisfait les hypotheses de regularites du lemme d'Ito-Ventzell % satisfait je me propose d'etudier les equations de type Hamilton-Jacobi-Bellman que satisfait une utilites progressive $u(t,x)$. Pour mener cette etude, j'utilise une formule d'Ito generalisee apellee la formule de Ventzell-Friedlin, qui permet d'etablir la decomposition de type Ito de la composee d'un champ aleatoire avec un processus d'Ito. Je montre alors que le terme $\beta(t,x)$ contient, necessairement, un terme de type hamiltonien classique modifie par la presence de la derivee de la volatilite $\Gamma(t,x)$ de l'utilite progressive. Et par consequent toute utilite progressive qui satisfait les hypotheses de regularites du lemme d'Ito-Ventzell satisfont l' equation differentielle stochastique suivante \begin{equation}\label{EDPSU} dU(t,x)=\Big\{-xU'_{x}\, r_t dt+ \frac{1}{2U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big) \|^2\Big\}(t,x)\,dt\>+\Gamma(t,x)\,dW_t. \end{equation} avec comme portefeuille optimal $X^*$ le processus associe a la strategie $\pi^*$ donnee par \begin{equation} x\pi^*(t,x)\sigma_t=- \frac{1}{U''_{xx}(t,x)}\|\prod_{\K_t(x)\sigma_t}\big(U'_{x}(t,x) \eta_t+\Gamma'_x(t,x)\big)(t,x) \end{equation} \noindent ou $r$ est le taux court, $\eta$ la prime de marche, $\sigma$ la matrice de variance covariance des actifs et $ \prod_{\K_t(x)\sigma_t}$ designe l'operateur de projection sur le cone $\K_t(x)\sigma_t$. \\ Ce point de vue permet de verifier que le champ aleatoire, s'il existe est compatible avec l'univers d'investissement. Cependant, la question de la convexite et de la monotonie est complexe a priori, car il n'existe pas de theoremes de comparaison pour les equations progressives (qui sont {\em forward}), contrairement au cas des equations retrogrades. La question de l'interpretation et du role de la volatilite s'avere alors etre centrale dans cette etude. Contrairement au cadre general que je considere ici, M.Musiela et T.Zariphopoulo, puis C.Rogers et al se sont restreint au cas ou la volatilite de l'utilite est identiquement nulle. Le processus progressif $u(t,x)$ est alors une fonction deterministe satisfaisant une EDP non lineaire, que les auteurs ont transforme en solution harmonique espace temps de l'equation de la chaleur. \\ Mon choix a ete d'etudire la question de la volatilite par des techniques de changement de numeraire; ainsi, je montre la stabilite de la notion d'utilite progressive par changement de numeraire. L'avantage considerable de cette technique, comparee a la methode classique, % Comme dans le cas % classique, le probleme est complique par le fait que l'espace des % contraites n'est pas invariant par changement de numeraire. est le fait qu'elle permet de se ramener toujours a un marche "martingale" ($r=0$ et $\eta=0$), ce qui simplifie considerablement les equations et les calculs. La derivee de la volatilite apparait alors comme une prime de risque instantanee que le marche introduit, et qui depend du niveau de la richesse de l'investisseur. Ce point de vue nouveau permet de repondre a la question de l'interpretation de la volatilite de l'utilite. Dans la suite, j'etudie le probleme dual et je montre que la transformee de {\em Fenchel} $\tU$ de la fonction concave $U(t,x)$ est un champ markovien lui aussi satisfaisant la dynamique \begin{eqnarray}\label{EDPSDuale'} d\tilde{U}(t,y)=\left[\frac{1}{2\tU_{yy}''}(\|\tilde{\Gamma}'\|^2-\|\prod_{\K_t(-\tU_y'(t,y))\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\|^2) +y\tU_{y}' r_t\right](t,y)dt +\tilde{\Gamma}(t,y)dW_t,~~\tilde{\Gamma}(t,y)=\Gamma(t,\tU_y'(t,y)). \end{eqnarray} A partir de ce resultat je montre que le probleme dual admet une unique solution $Y^*$ dans la volatilte $\nu^*$ est donnee par \begin{equation} y\nu^*(t,y)= -\frac{1}{\tU_{yy}''}\Big(\tilde{\Gamma}'+y\eta_t-\prod_{\K_t(-\tU_y')\sigma_t}(\tilde{\Gamma}^{'}_y-y\eta_t)\Big)(t,y). \end{equation} \noindent Ce ci permettra d'etablir les identites cle suivantes: \begin{eqnarray} &Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))=U'_x(t,X^*(t,x)) \label{A}\\ &(\Gamma'_x+U'_x\eta)(t,x)=(xU''(t,x)\pi^*(t,x)\sigma_t+\nu^*(U_x'(t,x))\label{B}. \end{eqnarray} % Remarquons que le terme $(\Gamma'_x+U'_x\eta)$ se decompose de maniere unique sous forme % de sa projection sur le cone $\K\sigma$, qui est la strategie optimale, et la projection sur le cone dual $\K^* \sigma$, % qui est la volatilite du processus optimal dual. Mais notre but est deux termes projetes su comme la projection % A partir de la premiere identite nous savons que $U'_x(t,X^*(t,x))$ n'est autre que le processus optimal dual %A ce stade rapellons que le but de cette etude est de carracteriser les utilites progressives. La question par la suite est la suivante: peut-on caracteriser l'utilite $U(t,x)$ pour tout $x>0$ a partir de la premiere identite? Ceci peut paraitre trop demander car nous cherchons a caracteriser le champ $U$ connaissant seulement son comportement le long de l'unique trajectoire optimale $X^*$. Cependant, la reponse a cette question s'avere etre positive et assez simple. En effet, notons par $\Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$, et supposons que le flot stochastique $X^*$ soit inversible, $\X$ designe son inverse. Alors, en inversant dans (\ref{A}), je deduis que $U_x'(t,x)=\Y(t,\X(t,x))$. En integrant par rapport a $x$, j'obtiens que $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$, ce qui prouve le theoreme suivant: \begin{theo} Sous des hypotheses de regularites et d'inversion du flot $X^*$, les processus $U$ definis par $U(t,x)=\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ sont des utilites progressives solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). \end{theo} % %\noindent Inversement, je montre le theoreme d'EDP stochastique suivant: \begin{theo} Soit $U$ un champ aleatoire solutions de l'EDP stochastique (\ref{EDPSU}). En utilisant la decompostion (\ref{B}), si les EDS suivantes \begin{eqnarray*} & dX^*_t(x)=X^*_t(x)(r_tdt+\pi^*(t,X^*_t(x))\sigma_t(dW_t+\eta_tdt)),X^*_0(x)=x ~\\ & dY^*_t(y)=Y^*_t(y)(-r_tdt+\nu^*(t,Y^*_t(y))dW_t),~Y^*_0(y)=y \end{eqnarray*} admettent des solutions fortes unique et monotonnes, alors, en notant par $ \Y(t,x):=Y^*(t,(U_x')^{-1}(0,x))$ et par $\X$ le flot inverse de $X$, on obtient que $U(t,x)= \int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$. Si de plus $X^*$ et $Y^*$ sont croissants, $U$ est concave. \end{theo} \noindent %Dans ce travail, je considere toujours un marche incomplet, Dans une seconde partie de ce travail, je me place dans un cadre beaucoup plus general dans le sens ou les actifs sont supposes etre cadlag locallement bornes, et par consequent la filtration n'est plus une filtration brownienne. Je remplace les contraintes de type cone convexe par des contraintes plus generales de type ensemble convexe. Le but de cette partie est de caracteriser toutes les utilites progressives avec le minimum d'hypotheses, notamment avec moins d'hypotheses de regularites sur les champs aleatoires $U$. Je ne suppose plus que $U$ est deux fois differentiable et par consequent je ne peut plus appliquer le lemme d'Ito-Ventzell. L'approche est alors differente: je commence par etablir des conditions d'optimalite sur le processus de richesses optimale ainsi que le processus optimal dual, et ce en utilisant des methodes d'analyse. En utilisant ces resultats je demontre, par des elements d'analyse, la convexite ainsi que les conditions d'optimalites que toutes les utilites progressives generant une richesse croissante est de la forme $\int_0^x\Y(t,\X(t,z))dz$ avec $\Y$ : $\Y X$ est une surmartingale pour toute richesse $X$ et une martingale si $X=X^*$.

https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00005815/document

Utilités Progressives Dynamiques.

In this paper, a relationship between the optimal growth portfolio and a martingale measure is studied when the underlying asset price processes are modeled by some continuous special semimartingale. It is shown that in this case, the Minimal Martingale Measure also owns minimal relative entropy with respect to P.

On the Relationship of Optimal Growth Portfolio and Martingale Measure

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