Logbuch Mathematik

TL;DR: Logbuch Mathematik - Die Zahl 7 spielt in der Mathematik eine besondere Rolle, insbesondere in der Topologie und der Algebra.

Abstract: Siebenen in der Mathematik, als erstes fallen einem da wohl die berühmten  unterschiedlichen Differentialstrukturen auf der 7-dimensionalen Sphäre ein, mit denen John Milnor  zur Überraschung der Fachwelt bewies, dass es auf ein und derselben topologischen Mannigfaltigkeit sehr unterschiedliche Arten der Differentialrechnung geben kann. Gut, man könnte sagen, die besondere Rolle der 7 ist da nur ein historischer Zufall. Schließlich gibt es exotische Sphären auch in den meisten anderen Dimensionen. Eine Besonderheit, die die 7-dimensionale Sphäre nur noch mit denen in Dimension n = 0,1 und 3 gemeinsam hat, ist aber die Existenz von n linear unabhängigen Vektorfeldern und damit zusammenhängend die Existenz einer Lie-Gruppen-Struktur: nur auf Sphären dieser Dimensionen lässt sich eine stetige Multiplikation definieren. Und das ist wiederum der Grund, warum der Rn nur für n = 1,2,4,8 eine reelle Divisionsalgebra sein kann, warum es also nach reellen Zahlen, komplexen Zahlen, Quaternionen und Oktaven nicht mehr weitergeht. Bemerkenswerterweise gibt es für diesen rein algebraischen Fakt bis heute nur einen topologischen Beweis. Eine allgemeinverständliche Darstellung findet sich in Kapitel  des  im Springer-Verlag erschienen Buches Zahlen. Geht man historisch nochmal zwei Jahrhunderte zurück, dann standen die sieben Brücken von Königsberg  am Anfang der Graphentheorie. Und die Zahl 7 ist hier wirklich von Bedeutung: nachdem im Krieg Brücken zerstört und später anders wieder aufgebaut wurden, hat das heutige Kaliningrader 5-Brücken-Problem eine Lösung in Form eines Eulerwegs: jede Brücke wird genau einmal überquert, allerdings stimmen Startund Endpunkt nicht überein. Einen Eulerkreis gibt es immer noch nicht. Sieben ist auch die Antwort auf manche Fragen der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie, etwa der nach dem wahrscheinlichsten Ereignis beim Wurf mit zwei Würfeln. In der projektiven Geometrie hat die Fano-Ebene P F2 als kleinste projektive Ebene sieben Punkte und sieben Geraden. Und n = 7 ist die kleinste Generatorzahl, hat also