L'application canonique pour les surfaces de type général

TL;DR: In this paper, the authors discuss the importance of l'application canonique dans la th6orie des courbes alg6briques, and des applications pluricanoniques for the classification of surfaces.

Abstract: On connait l 'importance de l'application canonique dans la th6orie des courbes alg6briques, et des applications pluricanoniques pour la classification des surfaces. L'6tude des applications n-canoniques (n>2) pour les surfaces complexes, d6j~t entreprise par Enriques ([E]), a 6t6 men6e ~, bien par Kodaira puis d6finitivement raise au point par Bombieri ([Bo]); leurs r6sultats sont pratiquement complets. Rappelons-en bri6vement les faits marquants. Le probl6me ne se pose gu6re que pour les surfaces de type g6n6ral, c'est-~tdire celles pour lesquelles l'application n-canonique ~0,K est birationnelle pour n assez grand1; Bombieri montre que q~,K est en fait pour n > 5 un isomorphisme en dehors de certaines courbes exceptionelles, qui sont contract6es sur des points doubles rationnels. L'application ~P3K est birationnelle sauf pour deux types de surfaces, que l'on sait d6crire explicitement; enfin l'application ~OZK est birationnelle, sauf pour les surfaces admettant un pinceau de courbes de genre 2 et pour certaines surfaces appartenant ~t une famille limit6e. Nous essayons dans cet article d'entreprendre une 6tude analogue pour l'application canonique pr6cisons tout de suite que nos r6sultats sont loin d'etre aussi complets que ceux de Bombieri-Kodaira. L'information dont on dispose dans la litt6rature existante est tr6s mince. Quelques exemples classiques sont expos6s dans [E]; toutefois ces exemples ne sont gu6re satisfaisants de notre point de rue. En effet ils concernent des surfaces avec pg<5, donc une famille limit6e de surfaces (cf. proposition 1.7 ci-dessous); et il sembte clair que le comportement de cette famille n'est en rien typique du cas g6n6ral" c'est ainsi que pour pg = 3 on n'a gu6re de choix quant ~ l'image de l'application canonique, et le degr6 de cette application peut 6tre anormalement 61ev6. Nous chercherons, au contraire, des 6nonc6s valables pour presque tou tes les surfaces de type g6n6ral, c'est-fi-dire toutes ~ l'exception d'une famille limit6e.