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La $R$-équivalence sur les tores

Principal homogeneous spaces under flasque tori: Applications

This paper is essentially an expanded version of [Sw] and gives a more detailed discussion of some of the topics mentioned there. It is intended to serve as an introduction to recent work related to Noether’s problem. To avoid too much overlap with [Sw] a number of historical remarks, comments, and other topics have been omitted here.

Noether’s Problem in Galois Theory

La question qui nous interesse ici est souvent appelee probleme de Zariski. Son expression algebrique est tres simple. Une extension F d'un corps k est dite pure si elle est k-isomorphe 'a un corps de fractions rationnelles k(t1, ... , td), et stablement pure si elle devient pure par addition d'un nombre fini de variables: F(u1,..., Urn) k(v1,... , vn). En ces termes, la question est la suivante: une extension stablement pure est-elle pure? De fait cette question est de nature geometrique et il vaut mieux l'exprimer comme suit. Soit X une k-variete algebrique geometriquement integre, de dimension d: on dit qu'elle est k-rationnelle si elle est k-birationnelle 'a l'espace affine Adk, et stablement k-rationnelle si, pour m convenable, le produit X x kAk est une variete k-rationnelle. En ces termes, la question devient: une k-variete stablement k-rationnelle est-elle une variet k-rationnelle? On retrouve l'expression initiale en considerant le corps des fonctions rationnelles F = k(X) de la variete X, auquel cas n = m + d. Cette question a ete posee par Zariski pour k = C (voir [22]). Elle lui est encore attribuee, pour k quelconque, par plusieurs auteurs, dont Voskresenskii qui s'est particulierement interesse au cas oui X est un tore algebrique [26], [27]. Ce probleme est evidemment tres naturel du point de vue de la geometrie birationnelle: c'est le probleme de la simplification par l'espace affine. Mais il intervient aussi sous d'autres formes et en d'autres occasions. Comme l'a montre Demazure [10], il est etroitement lie 'a l'etude des tores maximaux du groupe de Cremona Crn k en n variables sur le corps k: une reponse negative signifie l'existence de sous-tores deployes maximaux de dimension < n. II se pose aussi tout naturellement dans le cas de varietes algebriques dont on parvient a etablir qu'elles sont stablement k-rationnelles sans savoir si elles sont k-rationnelles. C'est le cas sur C des varietes de modules A#g des courbes de genre g pour 3 < g < 6 (voir [17]). C'est aussi le cas, si C est une courbe algebrique complexe projective et lisse de genre ? 2, des varietes de modules Yo/c(r, d) des fibres vectoriels

Varietes stablement rationnelles non rationnelles

CONTENTS Introduction § 1. Curves: geometry and arithmetic § 2. Surfaces: geometry over a closed field § 3. Surfaces: geometry over a non-closed field § 4. k-birational invariants § 5. Torsors and descent § 6. Zero-cycles and K-theory § 7. Surfaces: a little more geometry, combinatorics and arithmetic § 8. Varieties of dimension ≥3: geometry § 9. Higher dimensional intersections of a pair of quadrics: arithmetic § 10. Open problems References

https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM1986v041n02ABEH003242/pdf

Rational varieties: algebra, geometry and arithmetic

/pdf/invariants-of-finite-abelian-groups-4gsxdvl3aq.pdf

Invariants of finite abelian groups

/pdf/quasi-permutation-modules-over-finite-groups-ii-1ps2vrgrwq.pdf

Quasi-permutation modules over finite groups, II

/pdf/finite-groups-with-trivial-class-groups-30z0yf1k8d.pdf

Finite groups with trivial class groups

/pdf/on-the-projective-class-group-of-finite-groups-4hm9sucigf.pdf

On the projective class group of finite groups

On the class groups of dihedral groups

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Shizuo Endo

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