Self-consistent calculations on the quantized electron inversion layer adjacent to the grain boundary in p-doped InSb bicrystals are performed for the first time. A simple model of the fixed positive charge in the grain boundary is applied. Within a self-consistent approximation scheme, taking into account the band non-parabolicity, the band bending and the carrier concentrations in vicinity of the grain boundary are calculated. In addition, the calculation of the complete two-dimensional subband structure is performed. The results are discussed for a wide range of the total electron inversion density n□ = 1011 to 5 × 1012 cm−2. In case that n□ > 2 × 1011 cm−2 charge self-consistency is obtained. The theoretical values are compared with experimental ones taken from literature. The quality of the model and of the approximation scheme is demonstrated.



Es werden erstmalig selbstkonsistente Rechnungen zur quantisierten Elektroneninversionsschicht an Korngrenzen in p-dotierten InSb-Bikristallen vorgestellt. Es wird ein einfaches Modell fur die feste positive Ladung in der Korngrenze angewandt. Im Rahmen eines selbstkonsistenten Naherungsverfahrens, das die Nichtparabolizitat des Leitungsbandes berucksichtigt, werden der Bandkantenverlauf und die Ladungstragerkonzentration in der Nahe der Korngrenze berechnet. Weiterhin wird die gesamte zweidimensionale Subbandstruktur bestimmt. Die Ergebnisse werden fur einen breiten, praktisch relevanten Bereich der totalen Elektroneninversionsdichte n□= 1011 bis 5 × 1012 cm−2 diskutiert. Fur n□ > 2 × 1011 cm−2 wird Ladungsselbstkonsistenz erzielt. Es werden die theoretischen Resultate mit experimentell gewonnenen aus der Literatur verglichen. Die Gute vom Modell und vom Naherungsverfahren wird aufgezeigt.

Self-consistent calculation of the electronic structure of n-inversion layers adjacent to the grain boundary in InSb bicrystals

The path-integral-inspired approximation method is a convenient tool for the construction of a WKB-like Green's function This method is generalized to the case of potentials with finite steps by investigating the exact Green's function of a single finite step To demonstrate the utility of this method the single quantum well is studied in detail: For the stepwise constant potential the density of states of the bound as well as of the continuum states is given For a smooth potential bottom semiclassical quantization rules are derived for different band bendings The series representation of the Green's function allows the derivation of an appropriate local density of states necessary for a modified Thomas-Fermi approximation



Die aus der Pfad-Integral-Methode abgeleitete Naherung ist eine bequeme Moglichkeit zur Konstruktion von WKB-Green-Funktionen Diese Methode wird auf den Fall von Potentialen mit endlichen Sprungen verallgemeinert Dies geschieht durch die Untersuchung der exakten Greenschen Funktion fur einen endlichen Sprung Die Nutzlichkeit der Methode wird am Beispiel eines single quantum well gezeigt: Fur stuckweise konstantes Potential wird die Zustandsdichte sowohl der gebundenen als auch der Kontinuums-Zustande berechnet Fur ein glattes Potential im Graben werden semiklassische Quantisierungsbedingungen fur verschiedene Bandverbiegungen angegeben Schlieslich erlaubt die Reihendarstellung der Greenschen Funktion die Ableitung einer lokalen Zustandsdichte, die fur eine modifizierte Thomas-Fermi-Naherung geeignet ist

Construction and application of the Green's function for stepwise constant potentials

The modified local density approximation (MLDA) was developed to describe quantum corrections due to size quantization near a semiconductor-oxide interface for parabolic ellipsoidal bands. In this paper, we propose an extended MLDA model in order to consider arbitrary band structures. The results are compared with the original MLDA model and to self-consistent Poisson-Schrodinger solutions using both constant effective mass and confined six-band Hamiltonians. The extended MLDA model is verified for three major surface orientations and high stress conditions.

Extended Quantum Correction Model Applied to Six-Band ${\bf k}\cdot {\bf p}$ Valence Bands Near Silicon/Oxide Interfaces

In extension of a previous paper a quasiclassical method is developed for the calculation of eigenvalues in a potential with a finite step. The method is based on the use of a suitable and simple approximation for the density of states and on counting the number of states. In this way one obtains a quantization formula of the Bohr-Sommerfeld type with a defined ground-state contribution. The latter contains contrary to the usual quasiclassical method the influence of the interference of incoming and reflected waves at the potential step as well as the tunneling into the classically forbidden region. Several tests for model systems show the accuracy of the method. Since steps of the band edges are characteristic for semiconductor heterojunctions the method is well suited for the calculation of subband energies in such systems.



In Erweiterung einer fruheren Arbeit wird ein Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte in einem Potential mit einem endlichen Sprung entwickelt. Es beruht auf der Verwendung einer geeigneten einfachen Naherung fur die Zustandsdichte und auf einer Abzahlung der Zustande. Man erhalt dabei eine Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsvorschrift mit einer definierten Grundzustandskonstanten. Letztere enthalt im Gegensatz zu ublichen quasiklassischen Verfahren Beitrage, die herruhren sowohl von der Interferenz einlaufender und am Potentialsprung reflektierter Wellen als auch vom Hineintunneln in das klassisch verbotene Gebiet. Die Genauigkeit der Methode wird durch Tests an mehreren Modellsystemen nachgewiesen. Da Bandkantensprunge charakteristisch fur Halbleiterheteroubergange sind, kann das Verfahren zur Berechnung der Subbandenergien in solchen Systemen angewandt werden.

Subband energies at semiconductor heterojunctions. An approximate quantization formula

The usual quasi-classical description of transport processes does not contain directly the influence of wave functions. But the latter becomes important near interfaces. Due to the potential barrier at the semiconductor-insulator interface the wave functions go to zero there. An expression is derived for transport coefficients which (a) within the local-density approximation coincides in the bulk material with the standard formula and (b) contains the behaviour of the wave functions near the interface via the averaged local density-of-states matrix. The new approximation is discussed for a simple case. Applications and the inclusion of diffuse surface scattering will be treated in further papers.



Die ubliche quasiklassische Beschreibung von Transportvorgangen enthalt nicht unmittelbar den Einflus von Wellenfunktionen. Dieser wird jedoch an Grenzflachen bedeutungsvoll. So gehen die Wellenfunktionen wegen der Potentialbarriere an der Grenzflache vom Halbleiter zum Isolator gegen Null. Es wird ein Ausdruck fur Transportkoeffizienten abgeleitet, der (a) im Rahmen der Naherung lokaler Dichte im kompakten Material in den Standardausdruck ubergeht und (b) das Verhalten der Wellenfunktionen an der Grenzflache uber die gemittelte, lokale Zustandsdichtematrix enthalt. Der neue Ausdruck wird fur einen einfachen Spezialfall diskutiert. Anwendungen sowie die Berucksichtigung diffuser Oberflachenstreuung erfolgen in weiteren Arbeiten.

Alternative Quasi‐Classical Transport Equations. I. General Formalism for the Inclusion of Wave Functions

In the local density approximation (LDA) the density of a many-electron system is expressed as a function of the spatially varying potential. Here a modified LDA is derived which takes into account a finite potential step at a plane interface so being applicable for semiconductor-insulator structures and, in many cases, also for semiconductor heterojunctions. Different modifications of the standard LDA are discussed. They are compared with one another and with the exact solution of the Schrodinger equation for a model system. The simplest modification is shown to be also the best one and to give very good results for inversion layers even in the case of relatively small potential jumps and up to field strengths of some 105 V cm−1.



In der Naherung der lokalen Dichte (LDN) wird die Dichte eines Vielelektronensystems als Funktion des Potentialverlaufs ausgedruckt. In der vorliegenden Arbeit wird eine modifizierte LDN abgeleitet, die eine endliche Potentialstufe an einer ebenen Grenzflache berucksichtigt und damit fur Halbleiter-Isolator-Strukturen und in vielen Fallen auch fur Halbleiter-Heteroubergange anwendbar ist. Verschiedene Modifikationen der Standard-LDN werden diskutiert. Sie werden unter-einander und mit der exakten Losung der Schrodingergleichung fur ein Modellsystem verglichen. Die einfachste Modifikation erweist sich zugleich als die beste und liefert ausgezeichnete Ergebnisse fur Inversionsschichten. Das ist selbst fur relativ flache Potentialstufen und bis hin zu Feldstarken von einigen 105 V cm−1 der Fall.

Modified Local Density Approximation for Potentials with a Finite Step

The Completeness Relation and the Local Density Approximation for Layer Structures in Microelectronics

Recently the local density approximation (LDA) was modified for taking into account the influence of one interface barrier in the potential. In this paper a more general modification of the LDA is presented including the influence of two potential steps at plane parallel interfaces. It is shown to be a relatively simple and nevertheless accurate method for calculating the carrier density and other electronic properties of semiconductor layers and heterostructures. The validity of the modified LDA is tested for a simple model potential which can be treated exactly by solving Schrodinger's equation. Very good results are obtained for the electron density down to a layer thickness of about 10 nm. First self-consistent calculations are presented for an n-AlGaAs-GaAs superlattice.



In den letzten Jahren wurde die Naherung der lokalen Dichte (LDA) so modifiziert, das der Einflus einer Grenzflachenbarriere im Potential berucksichtigt werden kann. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeinere Modifikation der LDA vorgestellt, die den Einflus von zwei Potentialstufen an ebenen parallelen Grenzflachen erfast. Sie erweist sich als eine relativ einfache und doch genaue Methode, um die Tragerdichte und andere elektronische Eigenschaften von Halbleiterschichten und Heterostrukturen zu berechnen. Die Gultigkeit der modifizierten LDA wird fur ein einfaches Modellpotential uberpruft, das durch Losung der Schrodingergleichung exakt behandelt werden kann. Sehr gute Ergebnisse werden fur die Elektronendichte bis hinab zu Schichtdicken von etwa 10 nm erhalten. Erste selbstkonsistente Rechnungen fur ein n-AlGaAs-GaAs-Ubergitter werden vorgestellt.

Carrier density in layer structures of microelectronics. A modified local density approximation for semiconductor layers

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